Interes Compuesto con Ecuaciones en Diferencia

Ejemplo Numerico: Interés Compuesto con Ecuaciones en Diferencia (*)

En sistemas dinámicos de interés compuesto, el aumento de dinero es proporcional al propio monto, esta se puede representar como un cambio discreto $$\frac{\Delta S_{t}}{\Delta t}=rS_{t}$$, Si el monto de inversión tuviera un precio $S_{t}$ de las cuales se obtuviera una rentabilidad compuesta $$r$$ por un periodo transcurrido, la cantidad de dinero a obtener en cualquier tiempo $$t$$ (en años, semestres, meses, semanas o días) es una suma $$S_{t}$$.

a) Deducir la formula de interés compuesto por ecuaciones en diferencia.
b) Si invirtiera comprando una acción preferente por 200 dólares de un proyecto industrial que ofrece 2% de dividendos mensuales, y que usted necesitara recuperarlo en 6 meses ¿A cuánto debería vender su acción al finalizar el semestre?
c) ¿Cuál sería el beneficio de la inversión?
d) Por la información que tiene sobre la nueva industria, usted espera vender su acción en dólares 230 ¿Cuánto es el beneficio que espera tener?

SOLUCION

a) Deducir la formula de interés compuesto.

Si $$\Delta t$$ es un cambio unitario de tiempo discreto $$$\frac{\Delta S_{t}}{\Delta t}=\frac{S_{t+1}-S_{t}}{(t+1)-t}=rS_{t}$$$ Tenemos la ecuación en diferencias de primer orden con coeficientes constantes $$S_{t+1}-S_{t}=rS_{t}$$
Para $$r≠0 ; t=0,1,2,3…$$

Cuya ecuación puede resolverse por recursión en $$S_{t+1}=(1+r)S_{t}$$, de manera que tenemos el monto en cualquier tiempo.

Ecuacion 1: Interes Compuesto
$$$S_{t}=S_{0}(1+r)^{t}$$$

Esta es la fórmula que se puede encontrar en los textos de matemáticas financieras, administración financiera o finanzas corporativas, en este caso los intereses generan nuevos interés, es decir interés sobre interés.

b) Si invirtiera comprando una acción preferente por 200 dólares de un proyecto industrial que ofrece 2% de dividendos mensuales, y que usted necesitara recuperarlo en 6 meses ¿A cuánto debería vender su acción al finalizar el semestre? 

Reemplazando datos en la ecuación (1), teniendo en cuenta que un año tiene 12 meses. $$$S_{6}=200(1+0,02)^{6}\;dolares$$$ 

c) ¿Cuál sería el beneficio de la inversión?

El beneficio B será la diferencia actual entre $$S_{t}-S_{0}$$, despejando de la ecuación (1).

Ecuacion 2: Beneficio Actual Neto

$$$B=\frac{S_{t}}{(1+r)^{t}}-S_{0}$$$ 

 d) Por la información que tienes sobre la nueva industria, usted espera vender su acción en dólares 230 ¿Cuánto es el beneficio que espera tener?

Reemplazando datos en la ecuación (2)

$$$B=\frac{230}{(1+0,02)^{6}}-200=4,23 \;dolares$$$ 

Su beneficio actual neto esperado o Valor Actual Neto (VAN) es de dólares 4,23. Como es mayo a cero se recomienda invertir en la compra de la acción.

(*) Es un ejemplo numérico resumido del Capitulo 2: Introducción al Proyecto, del texto "Preparación y Evaluación de Proyectos" del autor.