Función de Producción con Programación No Lineal

Ejemplo Numérico: Función de producción con programación no lineal. (*) Suponga que la función de producción (Y) de una industria extract...


Ejemplo Numérico: Función de producción con programación no lineal. (*)
Suponga que la función de producción (Y) de una industria extractiva de Bolivia - minería cooperativa - esta dado por dos factores de producción capital (K) y trabajo (L) en el largo plazo:
a) Si la industria tiene una función de producción Y=Y(K,L) con costo lineal C=rK+wL, donde r es el precio por unidad capital y w es el salario por trabajador. Determinar la condición óptima de producción.
b) Determine la Tasa Marginal de Sustitución (TMg) de trabajo por capital si Yo=C.
c) Si la función de producción fuera Y=K^{1/2} L^{1/2} que tipo de rendimiento a escala presenta la industria.
d) Cual es la ruta de expansión de la industria extractiva, si hoy posee 2 mil unidades de capital (K) y produce óptimamente 4 mil dólares (Y) con precio de capital r=1 y el salario w=1/4 por mes, además determinar la cantidad de trabajo empleado.
e) Por el buen precio de los minerales en el exterior, los cooperativistas mineros estan planeando invertir para producir 6 mil dólares el próximo año, cuanto de cada factor debe comprar para que siga siendo óptima.
f) Muestre gráficamente los valores obtenidos en los anteriores encisos.

SOLUCION
a) Por criterio de optimización de Lagrange, debemos maximizar la función de producción dado la restricción del costo constante con la siguiente función compuesta de programación no lineal.
maxZ = Y + λ(C-rK-wL)

Entonces la condición óptima de producción será:
(∂Y/∂K)/(∂Y/∂L) = r/w = PMgK/PMgL

b)Para determinar la Tasa Marginal de Sustitución podemos determinar por diferencial total:
dY = (∂Y/∂L)dL + (∂Y/∂K)dK

dado Yo.
-PMgL/PMgK = TMgS
c) para determinar los rendimientos a escala debemos determinar el incremento potencial a escala (η), para ello si la función de producción es Y=K^(α)L^(β), en esta ecuación hacemos una combinación lineal con un factor escalar ρ que multiplique la producción:
Y = ρ^(η) Y

La misma condición η=α+β podemos obtener por la regla de homogeneidad de Euler.
ηY = (∂Y/∂K)K + (∂Y/∂L)L

despejando η tenemos que:
η=α+β

d) Partiendo de la condición suma de exponentes η=α+β se tienes que η=1/2+1/2=1, lo cual significa que esta industria tiene rendimientos producción a escala constante.

e) Para determinar la cantidad de trabajo empleado por la industria, despejamos $L$ de la ruta de expansión encontrado L=4K=4x2=8 mil unidades de trabajo incurriendo en un costo de C=1x2+(1/4)8=4 mil dólares con función de producción Y=2^(1/2)L^(1/2).

f) Esta la podemos plantear en forma de programación lineal
Función objetivo:
maxY = 2^(1/2)L^(1/2)
Sujeto a:
1K+1/4L=6
K,L≥0

Para resolver se puede utilizar los programas para investigación de operaciones o matemáticos como Tora, WinQSB, Lingo, MatLab, Wofram Mathematica y otros, para el ejercicio se utilizo Excel-Solver de Microsoft, con los siguientes resultados K=3 y L=12:

g) Para graficar se tiene las siguientes funciones:

(*) Es un ejemplo numérico resumido del Capitulo 1: Desarrollo, Planificación y los Proyectos, del texto "Preparación y Evaluación de Proyectos" del autor. (aplicación de optimizacion en economía)

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